矩阵路径构造题解

题目概述

构造一个 $n \times m$ 的矩阵（$n \times m \leq 200$），对于每个查询的非负整数 $S$，需要找到一条从 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 的路径，满足：

1. 每个单元格至多被经过一次
2. 路径上所有数字之和等于 $S$

构造思路

矩阵构造

设 $n = \lfloor \log2(\max S) \rfloor + 1$，即最大查询值 $S{\max}$ 的二进制位数，$m = 3$。

构造一个 $n \times 3$ 的矩阵：

	第1列	第2列	第3列
第1行	0	1	0
第2行	0	2	0
第3行	0	4	0
…	…	…	…
第i行	0	$2^{i-1}$	0

即：中间一列为 $2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{n-1}$，两侧均为 $0$。

路径构造

对于每个查询 $S$，将其二进制表示从低位到高位遍历：

• 若第 $i$ 位为 $1$：
  • 若 flag = 1：走 RRD（向右两步，向下一行），经过第 $i$ 行的中间单元格，贡献 $2^i$
  • 若 flag = 0：走 LLD（向左两步，向下一行），同样经过第 $i$ 行的中间单元格
  • 每次走后 flag 取反
• 若第 $i$ 位为 $0$：走 D（向下），只经过两边的 $0$

最后如果 flag = 1（最后一位是1且走了R），再走 RR 到达终点。

正确性证明

引理1：每次走 RRD 或 LLD 都会经过中间列对应的单元格，贡献 $2^i$。

引理2：每次走 D 只会经过两侧的 $0$。

引理3：所有路径单元格互不相同，不会重复经过。

证明：每一步要么向下（行号+1），要么先左右移动再向下。左右移动都在同一行内完成，之后向下到新行，因此不会回到之前的行。同一行内的左右移动是对称的（RR 或 LL），最终会回到中间列，不会在同一行重复经过单元格。

定理：对于任意 $S$，构造的路径数字之和等于 $S$。

证明：将 $S$ 二进制分解，$S = \sum b_i \cdot 2^i$（$b_i$ 为第 $i$ 位）。路径经过的单元格之和等于所有 $b_i = 1$ 对应的 $2^i$ 加上 $b_i = 0$ 对应的 $0$，恰好等于 $S$。

代码实现

import sys
input = sys.stdin.readline

q = int(input())
S_list = [int(input()) for _ in range(q)]
n = max(S_list).bit_length()  # 最大值的二进制位数

# 输出矩阵
print(n, 3)
for i in range(n):
    print(0, 1 << i, 0)

# 输出查询路径
for S in S_list:
    path = []
    flag = 1
    for i in range(n):
        if (S >> i) & 1:
            path.extend(['RR' if flag else 'LL', 'D'])
            flag ^= 1
        else:
            path.append('D')
    if flag:
        path.append('RR')
    print(''.join(path))

复杂度分析

• 矩阵大小：$n \times 3 \leq 200$（因为 $2^{60} > 10^{18}$，故 $n \leq 60$）
• 每个查询构造路径：$O(n)$，总体 $O(q \cdot n) \leq 10^4 \times 60$

关键点总结

1. 二进制分解：利用 $2^i$ 的幂作为基本元素，通过路径选择来实现二进制表示
2. flag 切换：通过 flag 交替左右走，确保路径不会自交
3. 矩阵简化：只需 3 列，中间存放 $2^i$，两侧为 0