07 矩阵路径求和

题目描述

构造一个 $n \times m$ 的矩阵（$n \times m \leq 200$），每个单元格填入非负整数。对于 $q$ 次询问，每次给出一个非负整数 $S$，需要找到一条从 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 的路径，满足：

1. 每个单元格至多被经过一次
2. 路径上所有数字之和等于 $S$

思路分析

如何思考这个问题？

当我们第一次看到这个问题时，可能会尝试各种复杂的图论算法。但仔细分析会发现几个关键点：

1. 数字范围很大：$S \leq 10^{18}$，但矩阵大小有限制（$\leq 200$）
2. 每个单元格只能经过一次：这意味着路径是唯一的，不能走回头路

二进制的启发

想到二进制表示是自然的：

• 任何整数 $S$ 都可以表示为 $2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}$
• 如果我们能让路径”选择性地”经过某些单元格，每个单元格的值是 $2^i$，那么只要控制哪些 $2^i$ 被经过，就能拼出任意 $S$

这就是核心洞察：把 $S$ 拆成二进制位，路径经过第 $i$ 行代表取 $2^i$。

构造的难点与解决

但直接这样构造会遇到问题：如果每次都走同样的列，路径会重复经过同一个单元格。

解决方法是利用奇偶性：

• 用 flag 标志位交替使用 RR（向右向右）和 LL（向左向左）
• 这样虽然目的都是向右移动到中间列，但走的路径不同，避免重复

最终方案

• 矩阵用 $(n+1) \times 3$ 的形状，其中 $n = \lceil \log2(S{max}) \rceil$
• 每行中间放置 $2^i$，其余为 0
• 路径根据二进制位决定是否”绕路”取这个值

解题思路

核心思想：二进制表示

对于任意 $S \leq 10^{18}$，我们可以用二进制表示。关键发现是：

• $S$ 的二进制表示中第 $i$ 位为 1 时，我们需要在路径中添加 $2^i$
• $S$ 的二进制表示中第 $i$ 位为 0 时，我们不需要添加 $2^i$

矩阵构造

构造一个 $(n+1) \times 3$ 的矩阵，其中 $n$ 是最大查询值 $S_{max}$ 的二进制位数：

第 i 行 (0 ≤ i < n): 0  2^i  0
第 n 行:             0  0   0

例如当 $n=3$ 时（对应 $S_{max}=7$）：

0 1 0
0 2 0
0 4 0
0 0 0

路径构造

从 $(1,1)$ 出发，对于 $S$ 的二进制每一位：

• 若第 $i$ 位为 1：先向右走到中间列（取到 $2^i$），再向下走
• 若第 $i$ 位为 0：直接向下走

最后根据标志位决定是否需要额外的向右移动到达终点。

代码实现

import sys
input = sys.stdin.readline

q = int(input())
S_list = [int(input()) for _ in range(q)]
n = max(S_list).bit_length()  # 最大S的二进制位数

print(n + 1, 3)
for i in range(n):
    print(0, 1 << i, 0)
print("0 0 0")

for S in S_list:
    path = []
    flag = 1  # 奇偶标志，决定RR还是LL
    for i in range(n):
        if (S >> i) & 1:
            path.extend(['RR' if flag else 'LL', 'D'])
            flag ^= 1
        else:
            path.append('D')
    if flag:
        path.append('RR')
    print(''.join(path))

复杂度分析

• 矩阵大小：$(n+1) \times 3 \leq 61 \times 3 = 183 \leq 200$ ✓
• 时间复杂度：$O(q \cdot n)$，其中 $n = \log2(S{max}) \leq 60$
• 空间复杂度：$O(1)$

代码说明

1. n = max(S_list).bit_length() 计算最大查询值的二进制位数
2. 矩阵构造：前 $n$ 行中间列为 $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$，最后一行全为 0
3. 路径构造使用标志位 flag 交替使用 RR 和 LL，确保路径不重复经过单元格