矩阵路径构造题解

题目概述

构造一个 n × m 的矩阵（n × m ≤ 200），对于每个查询的非负整数 S，需要找到一条从 (1, 1) 到 (n, m) 的路径，满足：

1. 每个单元格至多被经过一次
2. 路径上所有数字之和等于 S

构造思路

矩阵构造

设 n = ⌊log₂(max S)⌋ + 1，即最大查询值 S_max 的二进制位数，m = 3。

构造一个 n × 3 的矩阵：

	第1列	第2列	第3列
第1行	0	1	0
第2行	0	2	0
第3行	0	4	0
…	…	…	…
第i行	0	2i − 1	0

即：中间一列为 2⁰, 2¹, 2², …, 2^n − 1，两侧均为 0。

路径构造

对于每个查询 S，将其二进制表示从低位到高位遍历：

• 若第 i 位为 1：
  • 若 flag = 1：走 RRD（向右两步，向下一行），经过第 i 行的中间单元格，贡献 2ⁱ
  • 若 flag = 0：走 LLD（向左两步，向下一行），同样经过第 i 行的中间单元格
  • 每次走后 flag 取反
• 若第 i 位为 0：走 D（向下），只经过两边的 0

最后如果 flag = 1（最后一位是1且走了R），再走 RR 到达终点。

正确性证明

引理1：每次走 RRD 或 LLD 都会经过中间列对应的单元格，贡献 2ⁱ。

引理2：每次走 D 只会经过两侧的 0。

引理3：所有路径单元格互不相同，不会重复经过。

证明：每一步要么向下（行号+1），要么先左右移动再向下。左右移动都在同一行内完成，之后向下到新行，因此不会回到之前的行。同一行内的左右移动是对称的（RR 或 LL），最终会回到中间列，不会在同一行重复经过单元格。

定理：对于任意 S，构造的路径数字之和等于 S。

证明：将 S 二进制分解，S = ∑b_i ⋅ 2ⁱ（b_i 为第 i 位）。路径经过的单元格之和等于所有 b_i = 1 对应的 2ⁱ 加上 b_i = 0 对应的 0，恰好等于 S。

代码实现

import sys
input = sys.stdin.readline

q = int(input())
S_list = [int(input()) for _ in range(q)]
n = max(S_list).bit_length()  # 最大值的二进制位数

# 输出矩阵
print(n, 3)
for i in range(n):
    print(0, 1 << i, 0)

# 输出查询路径
for S in S_list:
    path = []
    flag = 1
    for i in range(n):
        if (S >> i) & 1:
            path.extend(['RR' if flag else 'LL', 'D'])
            flag ^= 1
        else:
            path.append('D')
    if flag:
        path.append('RR')
    print(''.join(path))

复杂度分析

• 矩阵大小：n × 3 ≤ 200（因为 2⁶⁰ > 10¹⁸，故 n ≤ 60）
• 每个查询构造路径：O(n)，总体 O(q ⋅ n) ≤ 10⁴ × 60

关键点总结

1. 二进制分解：利用 2ⁱ 的幂作为基本元素，通过路径选择来实现二进制表示
2. flag 切换：通过 flag 交替左右走，确保路径不会自交
3. 矩阵简化：只需 3 列，中间存放 2ⁱ，两侧为 0